概率估计一些结论证明

一、概率假设

    假设总体X~N(u, σ²)，X1，X2，X3……….Xn是来自总体样本，样本均值为$\bar x$，样本方差为S², 则有如下结论，并依次证明。

二、$\bar x$服从的分布$\bar x$~(u, σ²/n)

已知条件如下：

$$\begin{align} \bar x = \frac{1}{n} \sum \limits_{i = 1}^n{X_i} \\ \end{align}$$

根据正态分布公式：

$$\begin{align} {X_1} + {X_2}, \ldots ,{X_n} \sim N(n\mu ,n{\sigma ^2})\\ a{X_1} \sim N(a\mu ,{a^2}{\sigma ^2}) \\\\ \end{align}$$

则得如下结果：

$$\begin{align} \sum\limits_{i = 1}^n {X_i} \sim N(n\mu ,n{\sigma ^2})\\ \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {X_i} \sim N(\mu ,{\sigma ^2}) \\ \end{align}$$

三、$\bar x$化为标准正太分布

根据上述结论和下面公式，即可证明：

$$\begin{align} \frac{x - \mu }{\sigma } \sim N(0,1) \\ \frac{\bar x - \mu}{\sigma / \sqrt n } \sim N(0,1) \\ \end{align}$$

四、$\frac{(n - 1){s^2}}{\sigma _{}^2}$服从${\chi ^2}(n - 1)$分布

已知条件如下：

$$\begin{align} s^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i = 1}^n {(x_i - \bar x)^2} \\ \chi^2(n) = \sum\limits_{i = 1}^n {x_i} 其中 x_i \sim N(0,1)\\ \end{align}$$

所以可推导出以下公式：

$$\begin{align} \frac{(n-1)s^2}{\sigma ^2} = \sum\limits_{i = 1}^n {(\frac{x_i - \bar x}{\sigma})^2} \end{align}$$

根据公式6可知，$\frac{x_i - \bar x}{\sigma}$可以近似服从于$N(0,1)$分布（为什么是近似，可以参考无偏估计原理）。再根据公式10，原式得证明: $\frac{(n - 1){s^2}}{\sigma _{}^2}$服从${\chi ^2}(n - 1)$分布为什么是（n-1）而不是n，涉及到无偏估计，这里没有证明。

五、$T = \frac{\bar x - \mu}{s/ \sqrt n} \sim t(n-1)$ 证明过程

已知条件如下：

$$\begin{align} t(n) =& \frac{x}{\sqrt {Y/n}} \sim T分布标准公式\\ 其中:& x \sim N(0,1)，Y \sim \chi^2(n) \\ \end{align}$$

由公式7和证明四可知：

$$\begin{align} \frac{\bar x - \mu}{\sigma / \sqrt n } \sim N(0,1) \\ \frac{(n - 1){s^2}}{\sigma _{}^2} \sim {\chi ^2}(n - 1) \\ \end{align}$$

将上述两式带入到T分布标准公式中得：

$$\begin{align} t &= \frac{(\bar x - \mu)/(\sigma / \sqrt n)}{\sqrt {\frac{(n-1)s^2}{\sigma ^2}/(n-1)}} = \frac{(\bar x - \mu) / (\sigma / \sqrt n)}{s/\sigma} \\\\ &= \frac{\bar x - \mu}{s/ \sqrt n} \sim t(n-1) \end{align}$$

区间估计证明

假设，条件同上，外加置信区间$1-\partial$

1. 求均值u的范围

• $\sigma ^2$已知，$(\bar x - U_{\frac{\partial }{2}} \frac{\sigma}{\sqrt n}, \bar x + U_{\frac{\partial }{2}} \frac{\sigma}{\sqrt n})$
• 未完待续