数字图像处理入门（4）-离散傅里叶变换DFT

一、基础理论

1.1 连续傅里叶变换

正变换 $X(w)=\int_{- \infty}^{\infty} x(t)e^{-jwt}dt$ 物理意义为：$x(t)$由很多频率分量组成，任何一个频率分量在一个周期内的积分都为零，只有当等于$w$的频率分量被保留了下来。注：任何一个正玄波可以表示为：$Ae^{jw_1t}$其中A为振幅，w为角速度（周期），t为时间。当变量等于$w$，就只有幅度保留了下来。幅度其实很大，大概有$A \times t = \infty$，但是在频域上持续范围很小，所以一般用冲击函数表示：$A \delta(w-w_1)$ ~~我真是个小机灵鬼~~。
逆变换 $x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{- \infty}^{\infty}X(w)e^{jwt}dw$

1.2 离散傅里叶变换

正变换
$X(e^{jw})=\sum_{n=- \infty}^{+\infty}x(n)e^{-jwn}$
可以看出生成的频域是一个以$2 \pi$为周期的函数的，当然仅仅是$2 \pi$是不足以表示的真实的频率的。这里的$w$和真实的频率有一个对应关系。根据采样定理，可以识别的最大频率为$\frac{f_s}{2}$。再看上述方程$w$不仅是以$2 \pi$为周期，而且以$n \pi$为对称的函数，所以假定$w \in (- \pi, \pi)$，当$w = \pi$时，对应的频率最大，为$\frac{f_s}{2}$。所以真实频率和$w$的对应关系为：$w_{真实} = wf_s$，$f_{真实} = \frac{wf_s}{2 \pi}$。
逆变换
$x[n] = \frac{1}{2 \pi} \int_{2 \pi} X(e^{jw})e^{jwn}dw$
特点：正变换是连续的函数的，反变换是离散的，但是有一个积分符号。现在，这两个公式极其不利于计算。那么，当然是放弃找更好的办法。

二、一维DFT变换

目的一：两个公式都变成离散的
目的二：去掉积分符号

2.1 流程框图

没有扎实的信号与系统知识还真看不懂，主要包含了2个定理，一个规律：

时域相乘，频域相卷，反之亦然。
时域相卷，频域相乘，反之亦然。
对于周期采样冲击序列，傅里叶变换后，仍然是冲击序列，只不过周期改为$2 \pi / T$
其他的需要看看奥本海姆那本书，写的很详细。

2.2 公式推导

采样
定义采样函数为：$s_{\Delta T} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t - n\Delta T)$。
采样函数的傅里叶变换为：
$\begin{align} S(w) &= \frac{2 \pi}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(w -\frac{2 \pi k}{T}) \\ S(u) &= \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(u -\frac{1}{T}k) \end{align}$
其中$w$是角速度，$u$是频率，对应公式$w = 2 \pi u$。注：$\delta (2a)=\frac{1}{2}\delta (a)$
信号函数为：$f(t)$
获得取样后的函数为：$\bar f(t) = f(t)s_{\Delta T}(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(t) \delta (t - n\Delta T)$
化简为：$f_k = \int_{-\infty}^{\infty}f(t) \delta(t-k\Delta T)dt = f(k \Delta T)$。
其采样后傅里叶变换为：
$\begin{align} \bar F(u) &= F(u) * S(u) = \int_{- \infty}^{+\infty}F(\tau)S(u-\tau)d \tau \\ &=\frac{1}{T} \sum_{n= -\infty}^{+\infty}F(\tau)\delta(u-\tau -\frac{n}{\Delta T}) \\ &=\frac{1}{\Delta T}\sum_{- \infty}^{+ \infty}F(u-\frac{n}{\Delta T}) \\ \end{align}$ $\begin{align} \bar F(u) &= \int_{- \infty}^{+\infty} \bar f(t)e^{-j2\pi ut}dt \\ &=\int_{- \infty}^{+\infty} \sum_{n= -\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t-n\Delta T)e^{-j2\pi ut}dt \\ &=\sum_{n= -\infty}^{+\infty} \int_{- \infty}^{+\infty} f(t)\delta(t-n\Delta T)e^{-j2\pi ut}dt \\ &=\sum_{n= -\infty}^{+\infty}f_ne^{-j2\pi un\Delta T} \end{align}$
根据采样定理：$\frac{1}{\Delta T} > 2u_{max}$，此时得到的频域是周期为$\frac{1}{\Delta T}$的连续函数。
对频域进行采样得DFT
由于上面得到的是连续的傅里叶变换，为了去掉傅里叶反变换的积分符号，需要对频域进行采样，变成离散的频域，这样反变换的时候就可以将积分变成求和动作，令
$\begin{align} u=\frac{m}{M\Delta T},m=0,1,2,3....M-1. \end{align}$
将上述式子带入$\bar F(u)$中，得DFT的公式：
$F_m = \sum_{n=0}^{M-1} f_n e^{-j2\pi mn/M}$
单纯的从公式来看，物理意义为：（参考连续傅里叶变换的物理意义）
进行反DFT得IDFT，公式如下 $f_n = \frac{1}{M} \sum_{m=0}^{M-1}F_m e^{j2\pi mn / M}$ 物理意义为：所有频率分量在n这个点，相位幅度为$e^{j2\pi mn / M}$，叠加后在平均后的值。